5 Saisonbereinigung (Saisonbestimmung)

Zeitreihen aus "unterjährigen" Daten enthalten meist zyklischen Schwankungen in Form von Saisonkomponenten (z.B. hohe Werte im Winter, niedrige im Sommer).
Durch die Bestimmung der Saisonkomponente(n) läßt sich die Frage beantworten, wie die Zeitreihe verlaufen würde, wenn ihr Verlauf nicht durch saisonale Faktoren mitbeeinflußt worden wäre.
Die Saisonnormale zeichnet also periodendurchschnittliche Abweichungen auf.
Die Isolierung der Saisonkomponenten geschieht häufig durch das Verfahren der gleitenden Durchschnitte.

5.1 Berechnung der Saisonnormalen (Saisonmuster, Saisonprofil)

Die Saisonnormale kann nur berechnet werden , wenn der Zeitreihe ein saisonaler Zyklus zugrunde liegt. Berechnet wird die Saisonnormale mit Hilfe der Methode der gleitenden Durchschnitte. Beispielsweise wird der gleitende 12-Monats-Durchschnitt als um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe aufgefaßt werden. Die berechneten Werte für den gleitenden Durchschnitt werden von den beobachteten Werten also substrahiert. Die Werte werden in einer Datenmatrix nach Jahr und Quartal (Monate, Wochen oder andere Saisons) abgetragen. Die eingetragenen Werte werden spartenweise addiert und danach durch die Zeit der jeweiligen Spaltenwerte dividiert. Die Summe dieser Durchschnitte muß Null ergeben. Ergibt die Summe nicht Null, müssen die Werte bereinigt werden.
Dies geschieht, indem die Abweichung durch die Zahl der zugrunde liegenden Werte dividiert wird, danach wird das Ergebnis von jedem Wert abgezogen oder addiert, je nachdem, ob die Abweichung positiv oder negativ ist. Die bereinigte Werte stellen dann die Werte der Saisonnormalen dar. Die Saisonnormale stellt die durchschnittliche Bewegung aller Perioden um die Glättungslinie dar. Mit Hilfe der Saisonnormalen können Prognosen verbessert werden. Zuerst ermittelt man einen Prognosewert mit Hilfe des linearen Trends, danach wird der zugehörige Wert der Saisonnormalen addiert.

6 Prognosemethoden

6.1 Definition und Klassifizierung

Eine Prognose liegt vor, wenn eine Aussage über Zukunftswerte für wirtschaftliche oder sozialwissenschaftliche Variablen gemacht wird. Man unterscheidet zwischen Punkt- (Prognose für einen bestimmten historischen Zeitpunkt) und Intervallprognose (Prognose mit Wahrscheinlichkeitsbereich) sowie konditionale Prognose (Wenn-Dann Aussage) und unbedingter Prognose (Prophezeiung, Aussagen sind nicht nachvollziehbar).
Ex-post-Prognosen sind Prognosen für die Vergangenheit, hier unterscheidet man zwischen Prognosen 1. Art (es werden keine Informationen über die Zukunft in der Vergangenheit verwendet) und 2. Art (es werden Informationen bis zur Gegenwart genutzt, um Parameter zu schätzen).
Bei den Verfahrensmethoden lassen sich autoprojektive Prognoseverfahren (Ableitung der zukünftigen Entwicklung aus Bewegungsmuster der Vergangenheit: Fortschreibung der beobachteten Änderung, des Durchschnitts der letzten Änderungsbeträge der letzten oder des Durchschnitts der letzten Wachstumsrate, autoregressiver Ansatz, exponentielle Glättung sowie Trendextrapolation), stochastische Kausalverfahren (Abteilung der Entwicklung eines Phänomens aus der Realisation eines anderen: leading-Indikatoren) sowie außerstatistische Verfahren.

6.2 Prognoseverfahren

Man kann drei große Bereiche von Prognoseverfahren unterscheiden: Intuitive Prognoseverfahren, klassische analytische Prognoseverfahren und ökonometrische Verfahren. Zu den intuitiven Prognoseverfahren gehören Methoden wie z.B. Tendenzbefragungen, Expertenprognosen (Delphi-Methode) und die Methode von Referenzzyklen.
Bei den ökonometrischen Verfahren unterschiedet man zwischen ex-post und ex-ante Prognosen. Für die Statistik sind die klassisch analytischen Verfahren wichtig. Dazu gehören naive Ansätze der Zeitreihenfortschreibung, Trendextrapolationsverfahren, d.h. Prognose durch Fortschreibung des Trends (solche Prognosen können ggf. mit Hilfe einer Saisonnormalen verbessert werden, falls die Voraussetzungen dafür bestehen und autoregressive Ansätze).

6.2.1 Trendextrapolation

Ein relativ einfaches Prognoseverfahren ist die Trendextrapolation. Im folgenden soll die Prognose mit Hilfe des linearen Trends näher betrachtet werden. Zunächst wird die Trendgleichung bestimmt. In diese Gleichung wird dann der Zeitwert für die bestimmte Prognose eingesetzt. Der so ermittelte Wert für Y ist dann der Prognosewert.
Liegt der Zeitreihe neben dem Trend auch eine saisonale Bewegung zugrunde, kann man mit Hilfe der Saisonnormalen (Die Saisonnormalen gibt die durchschnittliche Bewegung aller Perioden um die Glättungslinie an) die Prognose verbessern. Der Vorteil der Prognose mit Hilfe eines Trends liegt darin, daß auch über längere Zeiträume hinweg noch Prognosen möglich sind. Der Nachteil liegt darin, daß Trends sich auch von einem Jahr aufs andere ändern können und gerade bei linearen Fortschreibungen werden die Prognosen, je weiter sie sich von dem letzten beobachteten Wert entfernen, immer unsicherer.

6.2.2 Die autoregressive Methode

Man kann die Zeitreihenfortschreibung mit Hilfe des linearen Trends als naiven Ansatz eines linearen autoregressiven Prozesses ansehen: . Die Naivität des Ansatzes besteht in der impliziten Berechnungsvorschrift für die Parameter a und b, bei der Informationen aus der verfügbaren Zeitreihe y_t nur in sehr unvollständiger und grober Weise ausgewertet wurden. Um den wahren Verlauf einer Zeitreihe gerechter zu werden (Zeitreihen folgen in aller Regel nicht exakt einer linearen Funktion), wird dem systematischen Teil noch ein Zufallseinfluß u_t beigegeben. Für den linearen Teil

Das sieht zwar ein mutiples Regressionsmodell aus, aber Y_t hängt nicht von unabhängigen Variablen ab, sondern von zeitlich zurückliegenden Größen von Y_t, daher läßt sich auch die Bezeichnung autoregressiv erklären. Dieser Prozeß wird oftmals nach A.A.Markov als Markov-Prozeß bezeichnet. Bei der Berechnung wird davon ausgegangen, daß die Störvariable u_i nicht rein zufällig ist, sondern von den entsprechenden Vorperiodenwert u_t-1 und einer rein zufälligen Größe v_t abhängt.
III
r ist hierbei ein unbekannter Parameter, der die Korrelation zwischen u_t und u_t-1 (Autokorrelation) angibt. Mittels der Gleichungen II und III und der Methode der kleinsten Quadrate können Schätzparameter bestimmt werden. Bei diesen Prognoseverfahren wird also der Einfluß der Störvariablen mitberücksichtigt.

6.2.3 Die Bedeutung von leading-Indikatoren bei Prognosen

Unter dem Aspekt des zeitlichen Verlaufs der Indikatoren gegenüber der konjunkturellen Referenzgröße, z.B. der Industrieproduktion, unterscheidet man drei Indikatoren:
führende (leading) Indikatoren
gleichlautende Indikatoren
nachlaufende Indikatoren
Führende Indikatoren liegen dann vor, wenn das jeweilige Maximum oder Minimum der Referenzreihe eintritt, z.B. Auftragseingänge für dauerhafte Güter, Lagerveränderungen u.a. Diese Indikatoren werden oft auch als Frühindikatoren bezeichnet. Sie spielen beispielsweise eine Rolle bei der Konjunkturprognose, weil mit ihrer Hilfe unerwünschte wirtschaftliche Entwicklungen vor ihrem wirklichen Eintritt erkennbar werden können, denen man eventuell prophylaktisch entgegenwirken kann.
Das Konzept der leading-Indikatoren gehört zu den statistischen Kausalverfahren, bei denen Informationen genutzt werden, die von anderen Phänomenen stammen, welche in einem statistischem Zusammenhang zu den prognostizierten Werten stehen. Es wird also ein vorauseilender Indikator genutzt.
Folgende Voraussetzungen werden gemacht:

? (unlesbar)
Zur Bewertung muß die Beziehung zwischen A und B inhaltlich begründbar sein
Das Vorauseilen muß eine empirische Regelmäßigkeit aufweisen. bzw. stabil sein
Die Daten des leading Indikators müssen aktuell verfügbar sein
Die ausschließliche Verwendung des leading Indikators für eine Prognose ist nicht angebracht, sie dienen vor allem der Unterstützung von Prognosen

Beispiel:
leading Indikator: Auftragseingang in der Industrie