3 Beschreibung von Wachstumsprozessen

3.1.1 Umbasierung

Unter Umbasierung versteht man die Bildung eines neuen Basisjahres B₀.
=> Umbasierung einer Indexreihe auf Basis Y₁= 100 =>
Beispiel:

Jahr	Bev (Millionen)	Basisjahr: 1960=100
1950	50	90,3
1955	52,4	94,6
1960	55,4	100,0
1965	58,6	105,8
1970	60,7	109,6
1975	61,8	111,6
1980	61,6	111,2
1985	61	110,1

1960 wurde in der zweiten Datenspalte als Basisjahr genommen. Der Wert für 1955 ergibt sich nach der Formel

3.1.2 Wachstumsraten

Zeitreihen mit unterschiedlichem Ausgangsniveau (vergleiche Bsp.) können besser verglichen werden, wenn man die Wachstumsraten bildet.
Auch für umfangreiche, unübersichtliche Datensätze bietet sich diese Methode an:
Vorgehensweise
Aus zwei aufeinanderfolgenden Werten X(l-1) und x(l) berechnet man die Wachstumsrate nach der folgenden Formel:
Der Wert, der sich ergibt, wird mit 100 multipliziert, um die Wachstumsangaben in Prozent zu erhalten.
Beispiel

Jahr	Filiale A	Rate A	Filiale B	Rate B
1980	1,3	-	11,2	-
1981	1,5	15,4	11,9	6,3
1982	1,4	-6,7	12,4	4,2
1983	1,6	14,3	13,7	10,5
1984	1,9	18,8	15,0	9,5
1985	2,2	15,8	16,3	8,7
1986	2,3	4,5	16,8	3,1

Der Wert für Rate A =15,4 ergibt sich also durch:

3.1.3 Berechnung der jährlichen Zuwachsrate und der mittleren jährlichen Wachstumsrate

also
Kennt man die Bestände am Ende des Jahres t und am Ende des Jahres t+n, nicht jedoch die für die n-1 dazwischenliegenden Jahresenden, so erhält man über die Formel des geometrischen Mittels die mittlere jährliche Wachstumsrate (Herleitung erfolgt über das geometrische Mittel):
, wobei n die Anzahl der unbekannten Jahre ist.
Diese Formel läßt sich auch folgendermaßen schreiben:
Bei n-1 Änderungen (oder unbekannten Jahren) bei n Y-Werten: oder
Beispiel: 9 Änderungen bei 10 Y-Werten:

4 Trendberechnungen

Die langfristige Entwicklungstendenz einer Zeitreihe heißt Trend. Man benutzt die Trendfunktion Zeit zur Vorhersage/Prognose. Prognosen können auch für die Vergangenheit (ex-post-Prognosen) durchgeführt werden.
Die Trendberechnung hat zwei zentrale Aufgaben/Funktionen:
a) Datenreduktion
b) Prognose
Der Trend wird oft dargestellt durch eine Trendlinie, bzw. Trendfunktion, um die Prognose treffen zu können.
Die Treffsicherheit (Qualität) einer linearen Prognose hängt ab von

der Nähe des Prognosezeitraumes zum Beobachtungszeitraum
der Anzahl der Beobachtungen, die in die Trendberechnung einfließt (kann auch negativ ausfallen!)
der Angemessenheit des Funktionstypes
der Streuung der Ursprungswerte um die Trendfunktion

4.1 Trendfunktion

Zur Trendbestimmung eignen sich im allgemeinen glatte mathematische Funktionen, die nicht periodisch sind oder eine Periodenlänge von mehr als 12 Monaten besitzen.
Die einfachste funktionale Beziehung zwischen der Trendfaktorengruppe (zusammengefaßt zum Quasi-Faktor Zeit t) und der Trendkomponente T_t ist die Gerade
Tt=[beta]₀+[beta]_1t, t=1...n
wobei ß₀ und ß₁ Koeffizienten (Parameter) darstellen, die durch ein geeignetes Verfahren zu bestimmen sind.
Es gibt (mindestens) vier verschiedene Methoden, eine Trendlinie zu ermitteln:

Freihandmethode
Methode der halben Durchschnitte
Methode der gleitenden Durchschnitte
Methode der kleinsten Quadrate

Die Gerade ist ein Polynom k=1. Grades. Werden Polynome höheren Grades als Trendfunktion verwendet, so lassen sich verschiedenartige Trendverläufe berücksichtigen, solche mit Wendepunkten, lokalen Minima und Maxima.

4.2 Vor und Nachteile traditioneller Trendanalysen von Zeitreihen

Die Spezifizierung der Trendkomponente T_t des Zeitreihenwertes X₁ für t=1...n wird als Trendbestimmung einer Zeitreihe bezeichnet.
Sie hat im Rahmen der traditionellen Zeitreihenanalyse zwei Ziele:
1. Zum einen ist die Trendisolierung von Interesse (welchen Verlauf hätte die Zeitreihe genommen, falls im Zeitablauf lediglich die Faktorengruppe wirksam gewesen wäre?)
a) Ziel ist die Bestimmung eines Resultats aus dem der vergangene, dem retrospektiven Interesse dienende, längerfristige Grundzug des in einer Zeitreihe vorliegenden Bewegungsmusters, hervortritt
b) Die Trendisolierung sollten dem prospektiven Interesse dadurch dienlich sein, daß insbesondere eine sich vollziehende Trendwende der Trendkomponentenentwicklung erkennbar und für die Einschätzung der zukünftigen Tendenz verwendbar wird.
2. Zum anderen geht es um die Trendausschaltung bzw. Trendbereinigung (welchen Verlauf hätte die Zeitreihe genommen, falls die Trendfaktoren nicht wirksam gewesen wären?)

Der Vorteil der Trendbereinigung ist, daß nach ihrer Durchführung die kürzerfristige saisonale Bewegungskomponente, vorausgesetzt, sie ist vorhanden, deutlicher als in der Ursprungsreihe hervortritt. Sie kann daher besser analysiert und prognostiziert werden.

4.3 Methoden der Trendbestimmung

4.3.1 Freihandmethode

Die Freihandmethode ist trivial. Man zieht nach Augenmaß eine "Trendline" durch die Punktwolke.

4.3.2 Methode der halben Durchschnitte

Die einfachste Form des Trends ist eine Gerade. Die einfachste Form der Trendberechnung für eine Gerade ist das Modell der halben Durchschnitte. Dabei wird die Zeitreihe in zwei gleiche Hälften unterteilt. Aus den jeweiligen Werten der beiden Hälften wird das arithmetische Mittel bestimmt und der Mitte der jeweiligen Hälfte zugeordnet, so daß man nun zwei Punkte im Koordinatensystem besitzt, durch die die Trendgerade eindeutig definiert ist und somit Trendwerte bestimmt werden können. Diese Methode kann nur angewendet werden, wenn ein linearer oder fast linearer Trend vorliegt.

4.3.2.1 Vorgehensweise

1. Zeitreihe in zwei gleich große Hälften teilen
2. Arithmetisches Mittel der Hälften berechnen (Ist n ungerade, wird ein Wert in beide arithmetische Mittel einfließen)
3. Die beiden arithmetischen Mittel werden ins Koordinationnetz eingetragen und mit einer Geraden verbunden)

4.3.2.2 Beispiel

i	t	Bevölkerung
1	1950	50
2	1955	52,4	für 1-4: 51,6
3	1960	55,4
4	1965	48,6
5	1970	60,7
6	1975	61,8	für 5-8: 61,3
7	1980	61,7
8	1985	61,9

4.3.3 Methode der gleitenden Durchschnitte

Die Methode der gleitenden Durchschnitte ist ein Verfahren zur Glättung von Zeitreihen. Sie setzt voraus, daß innerhalb der Zeitreihe (kurzfristige) Schwankungen zyklisch auftreten (z.B. die Produktion von Schoko-Osterhasen) und daß die Werte äquidistant sind.
Ein Gleitender Durchschnitt (GD) ist eine Folge von arithmetischen Mitteln, die aus beobachteten Werten von Y gebildet werden. Ein gleitender Durchschnitt wird aus einer gleichbleibenden Anzahl zeitlich benachbarter Beobachtungswerte berechnet und dem in der Mitte des jeweiligen Zeitintervalls liegenden Zeitpunkt t zugeordnet. Das Zeitintervall kann dabei sowohl aus einer geraden, als auch aus einer ungeraden Zahl von Werten bestehen. Wichtig ist, daß das Zeitintervall mit dem zugrunde liegenden Zyklus übereinstimmt. Der Vorteil gegenüber der Regressionsmethode liegt darin, daß man keinerlei Vorwissen über den Funktionstyp des Trends besitzen muß. Die größte Schwierigkeit der Methode liegt in der richtigen Auswahl des Zyklusses. In schwierigen Fällen sollten mehrere Alternativen auf ihre Güte getestet werden. Bei Zeitreihen ohne saisonale Schwankungen stellt sich die Frage, wie groß man die Ordnung der Gleitenden Durchschnitte wählen soll. Da durch Gleitende Durchschnitte starke Krümmungen der "glatten Komponente" abgeschliffen werden, und zwar um so stärker, je höher die Ordnung, sollte die Ordnung bei zu stark gekrümmten Verlauf der der glatten Komponenten nicht allzu groß sein. Andererseits ist darauf zu achten, daß bei kleiner Ordnung der I_t* weit von Null abweichen kann, besonders bei starken irregulärnen Schwankungen.
Der Glättungseffekt der Methode der gleitenden Durchschnitte kann verstärkt werden, indem man mehrere Glättungsverfahren übereinanderschachtelt (Nachteil: Die Linie wird immer kürzer).

4.3.3.1 Vorgehensweise

1. Zyklen festlegen, z.B. bei Konjunktur 7-Jahreszyklen
2. Arithmetisches Mittel aus dem ersten Zyklus bilden
3. Um eins nach unten verschoben das nächste arithmetische Mittel bilden (siehe Beispiel) usw.
Man berechnet also die Durchschnitte, die man direkt den einzelnen Zeitwerten zuordnen kann, da die Zykluslänge im angegebenen Beispiel ungerade ist.
Wenn die Zykluslänge gerade ist, muß man das arithmetische Mittel aus zwei "benachbarte" Summen bilden!!
Die Durchschnitte bewegen sich "gleitend" über die Zeitreihe hinweg Stellt man diese gleitenden Durchschnitte graphisch dar, erhält man die gewünschte Glättungslinie, die auch als Trendlinie bezeichnet werden kann.
Anmerkung: Der Zyklus heißt auch "Fenster" oder "Stützbereich"

4.3.3.2 Beispiel

Der Zyklus beträgt in diesem Beispiel 7 = eine Woche.

4.3.3.3 Bemerkungen zur Methode der gleitenden Durchschnitte

Zentrales Problem der Anwendung gleitender Durchschnitte für die Trendberechnung ist die Bestimmung der Periodenlänge des Schwankungseinflusses (Stützbereich), den es zur Bestimmung des Entwicklungsverlaufs auszuschalten gilt.
Die Werte der gleitenden Durchschnitte werden dem mittleren Beobachtungswert der jeweiligen Durchschnittsgruppe zugerechnet. Mit dieser Methode können am Anfang und am Ende der gegebenen Zeitreihe keine Trendwerte bestimmt werden. Deshalb eignet sich die Methode auch nicht dazu, Trendprognosen durchzuführen.
Die Trendfunktion ist durch extreme Werte beeinflusst.
Bei steigendem Trend hat die Linie einen systematischen Fehler nach oben, bei sinkendem Trend einen systematischen Fehler nach unten, unter Umständen kommt es zur Verzerrung der Trendlinie.
Je größer die Zyklen, desto "geglätteter" ist die resultierende Reihe.
Besitzt eine Zeitreihe nur geringe zyklische Schwankungen und starke Zufallsschwankungen, so wird man eine größere Zahl von Werten in die Durchschnittsbildung hineinnehmen, bei einer ausgeprägten zyklischen Komponente wählt man kleine Zyklen.
Ein weiteres Problem ist die Behandlung extremer Werte, d.h. solcher Ausprägungen der untersuchten Variablen, die weit aus dem Streubereich der übrigen Werte herausfallen. Die Ausschaltung von Extremwerten unterliegt der subjektiven Einschätzung des Forschers.

Vorteile
Die Verwendung der gleitenden Durchschnitte bei der Trendberechnung hat gegenüber anderen Strategien den Vorteil, nicht zu a-priori Annahmen über die Form des Trendverlaufs zu zwingen, sie sind daher weitaus flexibler als solche Methoden der Trendberechnung, die eine derartige Entscheidung voraussetzen.
Nachteile
Gleitende Durchschnitte verschieben den Zeitpunkt von Umschwüngen der Zeitreihe und nivellieren gleichzeitig das Ausmaß solcher Veränderungen.
Es können bei mehreren einzelnen Spitzenwerten in der Reihe der gleitenden Durchschnitte Zyklen auftreten, die in der ursprünglichen Zeitreihe nicht vorhanden waren - Erscheinungen, die beide zu erheblichen Fehlinterpretationen der Entwicklung führen können.
Das Fehlen der ersten und letzten Glieder bei der Berechnung der gleitendenden Durchschnitte verringert die Basis für die Interpretation der empirischen Reihe.

4.3.4 Methode der kleinsten Quadrate

Die Methode der kleinsten Quadrate wird in der Praxis am häufigsten genutzt, um eine Trendlinie zu ermitteln. Durch die Methode der kleinsten Quadrate lassen sich sinnvolle Schätzfunktionen explizit erzeugen. Sie stellt keine Anforderungen an die Ursprungsreihendaten. Allerdings müssen Anhaltspunkte dafür vorliegen, daß sich der Trend durch eine mathematische Funktion ausdrücken läßt.
Wendet man die Methode der kleinsten Quadrate auf Zeitreihen an, so bezeichnet die unabhängige Variable X die Zeit und die Daten der Werte von Y zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Die sich so ergebende Regressionsgerade oder -kurve von Y wird zum Zweck der Schätzung, Vorhersage oder auch der Prognose verwendet.
Die Methode der kleinsten Quadrate ist unter anderem auch ein Mittel zur Festlegung der Regressionskoeffizienten in der Stichprobe. Hierzu wird die Regressionsgerade derart in eine Punktwolke gelegt, daß die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen den beobachteten Werten und der Regressionsgrade ein Minimum ergeben. Durch die Quadrierung erreicht man, daß auch größere inhaltlich bedeutsame Abweichungen stärker berücksichtigt werden als kleinere Abweichungen, die eventuell "nur" auf zufällig Meßungenauigkeiten zurückzuführen sind.

4.3.5 Methode der variaten Differenzen

Hierbei handelt es sich um ein Hilfsmittel zur Bestimmung des Polynomgrades. Die Technik der variaten Differenzen beruht auf dem mathematischen Satz, nach dem gilt: Ist die Trendfunktion ein Polynom vom Grade k>0, führt die Bildung zeitlich benachbarter Trendkomponenten zu einer Trendfunktion für t=2...n, die wiederum ein Polynom darstellt, wobei jedoch der Polynomgrad auf k-1 reduziert ist.
Eine nochmalige Anwendung der Differenzenbildung reduziert laufend den Polynomgrad, bis ein konstanter Wert erreicht ist. Generell gilt, daß sich die Trendfunktion mit wachsendem Polynomgrad k der Ursprungsreihe immer genauer anpaßt.

4.4 Trendkorridore

Will man nicht Punkte schätzen, sondern ganze Bereiche, muß man einen Trendkorridor berechnen:
Ein Trendkorridor beschreibt den Raum, in dessen Grenzen mit einem festzulegenden Vertrauensniveau ein y_i-Wert erwartet werden kann. y_i1(y_io) gibt den jeweiligen oberen Wert des Konfidenzindervalls "Trendkorridor" an, y_i2 (y_iu) gibt den jeweils unteren Wert an. Befindet sich ein beobachteter Wert außerhalb des Trendkorridors, war er mit dem angegebenen Vertrauen nicht zu erwarten und weicht somit signifikant von der Null-Hypothese ab.