2 Deskription

Die Beschreibung einer Zeitreihe intendiert die übersichtliche Darstellung der nur schwer überschaubaren Daten. Bei einer Datenreduktion sollte der hiermit verbundene Informationsverlust durch eine erhöhte Übersichtlichkeit ausgeglichen werden.

2.1 Graphische Darstellung

Einen ersten instruktiven Überblick über die Eigenheiten einer Zeitreihe kann man aufgrund einer graphischen Darstellung in Form eines Zeitreihenpolygons erhalten mit der Abzisse als Zeitachse und der Ordinate als Zeitreihenwertskala.Das Polygon entsteht durch die lineare Verbindung der einzelnen definierten Punkte.
Bemerkung:
Man kann bei der graphischen Darstellung meistens Jahreszahlen als Angaben für Zeitpunkte auffassen, weil die amtliche Statistik z.B. die Bevölkerungszahl immer zu einem Stichtag erhebt.
Wenn man unskalidert, also nicht die X-Achse oder Y-Achse bei 0 anfangen läßt, deutet man die "Stauchung" durch eine Zickzacklinie an:

2.2 Arithemtisches Mittel und Streuuung der Zeitreihenwerte

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist nur dann sinnvoll, wenn die Zeitreihe keine sich in der Zeit entwickelnde längerfristige Tendenz besitzt, die Zeitreihe also stationär ist.

2.3 Autokorrelation und Autokovarianz der Zeitreihenwerte

Empirische Zeitriehen zeigen im allgemeinen mehr oder weniger regelmäßige, sich teilweise wiederholende Bewegungsmuster. Deren Deskription ist in Grenzen dadurch möglich, daß die Messung der Korrelation zwischen den Werten einer Zeitreihe, die Messung der Autokorrelation, durchgeführt wird. Jedoch liefert eine solche Deskription unbefriedigende Ergebnisse.
Die Autokorrelation einer Zeitreihe besitzt aber eine recht große Bedeutung im Zusammenhang der Konzeption moderner Zeitreihenmethodik. Ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der Eigenschaft einer Zeitreihe y₁..y_n sind die empirischen Autokovarianzen bzw. Autokorrelationen. Darunter versteht man Maße für den Zusammenhang zwischen Beobachtungsdaten, die einen bestimmten zeitlichen Abstand zueinander haben. So ist die empirische Kovarinaz bzw. Autokorrelation zum sogenannten lag (Zeitverschiebung) 1 ein Maß für den Zusammenhang von y_t und y_t+1 für t=1..n-1, die um lag 2 ein Maß´für den Zusammenhang zwischen y und y_t+2 für t=1..n-2 usw. Die lineare Zusammenhangsmessung zwischen den Werten einer Zeitreihe erfolgt analog zur Konstruktion der Kovarianz bzw. des Autokorrelationskoeffizienten im Zweivariablenfall:
Aus den n Werten einer Zeitreihe lassen sich n-1 Paare von unmittelbar aufeinanderfolgenden Werten bilden (x₁,x₂)(x₂,x₃)..(x_n-1,x_a). Deren Autokovarinaz hat den Betrag

das arithmetische Mittel aus den Werten x₁ bis x_n-1 dargestellt und das aus den Werten x₂ bis x_n.
Das bedeutet also, daß die Autokovarianz den linearen Zusammenhang für n-1 Werte zweier Zeitreihen mißt, die deckungsgleich und auf der Zeitachse um eine Zeiteinheit gegeneinander verschoben sind.
Bei nicht zu kurzen Reihen und insbesondere stationären Reihen unterscheiden sich x₍₁₎ und x₍₂₎ nicht wesentlich, d.h. daß in diesem Fall das arithmetische Mittel der ganzen Reihe verwendet werden kann. Das gleiche gilt dann auch für die entsprechende Varianzen, so daß die Autokorrelation unmittelbar aufeinanderfolgender Werte in diesem Fall den Betrag hat.
Entsprechend können die Autokovarianz und die Autokorrelation für weiter auseinanderliegende Werte (also für um mehr als eine Zeiteinheit gegeinander verschobene Reihen) bestimmt werden. Der Zeitabstand [tau] der betrachtete Werte wird als lag bezeichnet. Daraus folgt, daß die Autokovarianz eine vom Lagparameter [tau] abhängige Funktion darstellt

Für [tau]=0 gilt, daß cov(0)=var(x)

Die empirische Autokorrelation ist somit , für [tau]=0 gilt, daß r(0)=1,
[tau]=0,1,2...1
r([tau]) besitzt die Eigenschaften des Korrelationskoeffizeinten von Bravais/Pearson, auch das Verfahren ist analog. Die einzelnen Werte für r([tau]) werden auch als Autokorrelation [tau]-ter Ordnung bezeichnet.
Da bei relativ großem [tau] die Zahl der in die Berechnung eingehenden Wertepaare relativ klein ist und deshalb zu Werten von r([tau]) führen kann, die von einzelnen Wertepaaren stark geprägt sind, sollte [tau] nicht größer als ein Viertel der Anzahl der Zahlenwerte sein.

Eine Autokorrelation 1. Ordnung berechnet sich nach folgender Formel:

Allgemein wird die 1 durch [tau] ersetzt. Relativ große Werte des Autokorrelationskoeffizienten
(-1<=[tau]<=1) weisen auf einen relativ engen Zusammenhang bei der entsprechenden zeitlichen Verschiebung hin - je näher sich der Wert der Null nähert, desto geringer ist der jeweilige zeitliche Zusammenhang.
Der Autokorrelationskoeffizient kann als Hinweis darauf angesehen werden, ob eine Zeitreihe noch einer regulären Komponente unterliegt oder nicht.
Ist eine reguläre Komponente vorhanden, so sind die Werte von r([tau]) relativ hoch. Es gilt: Wenn die Periodizität genau getroffen wird, ist der Wert nahe 1 und bei der halben Periodizität nahe -1. Sind alle Werte nahe 0, kann man die weitere Suche nach regulären Komponenten beenden, da man davon ausgehen kann, daß die Werte rein zufällig sind. Wie ein realisierter Wert zu bewerten ist, kann mit Hilfe eines Hypothesentests ermittelt werden. Zum Autokorrelationskoeffizienten müssen einschränkend zwei Bemerkungen gemacht werden:
1. Der Autokorrelationskoeffizeint macht nur bei relativ langen Zeitreihen Sinn, da der maximale lag mit einem Drittel bis zur Hälfte der Zeitreihe angegeben wird. Hat man eine Zeitreihe mit 16 Monatswerten, kann man eigentlich einen 12-Monats-Zyklus gar nicht mehr ermitteln.
2. Die Werte von Zeitreihen sind in der Regel inhaltlich immer eng verbunden. So entsteht z.B. die Bevölkerungszahl immer aus ihrem Vorjahreswert. r=1 läßt also meist hohe Werte erwarten, nicht wegen einer zugrundliegenden Periodizität, sondern einzig wegen des inhaltlichen Zusammenhangs. Eine Periodizität wird daher erst ab r>=4 interessant.
Der Graph von r([tau]) wird als (Auto-)Korrelogramm bezeichnet. Auf der Abzisse werden die lags abgetragen und auf der Ordinate die Werte der Autokorrelationskoeffizienten.