1 Der Begriff der statistischen Zeitreihe

1.1 Der Begriff der Zeitreihe

1.2 Traditionelles Verständnis von Zeitreihen

Eine Zeitreihe stellt die zeitlich geordnete Abfolge der Beobachtungen von statistischen Massen dar, die Unterschiede im zeitlichen kollektivabgrenzenden Merkmal aufweisen. Statistische Massen sind zum Beispiel alle Kraftfahrzeuge eines Landes. Die Zählwerte zu einem bestimmten Termin im Jahr stellen die Zeitreihe dar. Wichtig für die Interpretation einer Zeitreihe ist, daß sich innerhalb der Zeitreihe die Beobachtungen auf statistische Massen beziehen müssen, die sich lediglich im zeitlichen Merkmal unterscheiden, da ansonsten die Vergleichbarkeit der Zeitreihenwerte untereinander erschwert oder - im Extremfall - gar nicht möglich ist.
Zudem beschränkt man sich auf äquidistante Zeitreihen, also Reihen mit gleicher zeitlicher Entfernung zwischen den Zeitindizes. Es gibt verschiedene Erklärungsansätze für Zeitreihen:

analytischer Weg (=äußere Methode)
empirischer Weg (=innere Methode)
stochastischer Prozeß
Filteransatz (enthält 1. -3. als Unterfälle)

1.3 Modernes Verständnis der Zeitreihenmethodik

Empirische wirtschafts- und sozialstatistische Zeitreihen werden als endliche Realisation eines übergeordneten, den spezifischen Sachverhalt umfassenden, stochastischen Prozeß angesehen. Ein stochastischer Prozeß läßt sich auf zwei Arten definieren.

a. Der stochastische Prozeß stellt eine Grundgesamtheit für die empirische Zeitreihe dar. Eine empirische Grundgesamtheit ist also eine Stichprobenrealisation aus einer unter Umständen recht umfangreichen Masse.
So handelt es sich beispielsweise bei einer Zeitreihe von 10 Volkseinkommen um eine Stichprobe aus einer unvorstellbar großen Masse an Volkseinkommen (Volkseinkommen, die in einem Land unter den Bedingungen, unter denen sie tatsächlich zustandegekommen sind, vorkommen können).
b. Der stochastische Prozeß stellt eine Folge von Zufallsvariablen dar, wobei jedem Zeitindex eine Zufallsvariable X(a) zugeordnet ist. Der stochastische Prozeß stellt also formal eine Funktion mit zwei Definitionsbereichen dar, dem Ereignisraum und einem Zeitindex X(a,t). Dahinter steckt folgende Überlegung: Zufallsvariablen werden als Größe aufgefaßt, die Chancen ausdrücken, mit denen im Rahmen eines Vorgangs mit Zufallscharakter bestimmte reelle Zahlen auftreten. Der Zufallvorgang kann zu einem anderen Zeitpunkt wiederholt werden, wobei dies nicht unter derselben Bedingung erfolgen muß
=> die Chancen, mit denen bestimmte reelle Zahlen auftreten könnnen, verändern sich
=> zu verschiedenen Zeitindizes sind deshalb verwandte, aber nicht völlig gleiche Zufallsvariablen gültig
=> nach Definition ist eine derartige Familie von Zufallsvariablen ein stochastischer Prozeß

1.4 Traditionelle vs. moderne Zeitreihenstatistik

In Abhängigkeit davon, daß Ereignisse realisiert sind oder aber nicht realisiert sind, und der Zeitindex entweder fest oder variabel ist, lassen sich die Konzepte "stochastischer Prozeß", "Zeitreihe", "Zufallsvariable", und "Wert der Zufallsvariablen" darstellen:

Zeitindex fest und Ereignis realisiert: Zeitreihenwert (eine reelle Zahl)
=> Beispiel: Volkseinkommen 1990
Zeitindex fest und Ereignis nicht realisiert: Zufallsvariable (eine reelle Zufallsvariable)
Beispiel; Wahrscheinlichkeit, mit der das Volkseinkommen 1990 Werte realisiert, die innerhalb bestimmter Grenzen liegen
Zeitindex variabel und Ereignis fest: Zeitreihe (Abfolge von Zeitreihenwerten)
Beispiel: acht Zufallsvariablen, die jeweils zum Ausdruck bringen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten in den acht Jahren das Volkseinkommen Werte innerhalb bestimmter Grenzen realisiert

Die unter 4. verstellbaren stochastischen Prozesse sind im wesentlichen durch die - unter 3.- genannten Besonderheiten der Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen gekennzeichnet.

Fazit: Eine konkret vorliegende Reihe stellt zunächst lediglich eine Folge von reellen Zahlen dar, die die zeitliche Entwicklung eines ökonomischen Sachverhaltes beschreibt. Dem Zeitreihenanalytiker steht somit frei, eine vorliegende Reihe beispielsweise als eine endliche Realisation eines stochastischen Prozesses eines bestimmten Typs zu interpretieren; welche Interpretation gewählt wird, richtet sich rein nach der Zweckmäßigkeit.

1.5 Begriffe

Äquidistanz:: Der zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten ist konstant
(Gütekriterium für Zeitreihen) (Wagenführ S. 182)
Interpolation:: Durch Interpolation ermittelt man die Zahl, die in der Spannweite liegt, aber nicht durch einen empirischen X-Wert realisiert ist. (=> Klassenintervalle, Summenkurven)
"bereinigte Zeitreihen:: von Trends bereinigt (Wagenführ S. 187 ff)

1.6 Klassisches Komponentenmodell der Zeitreihenanalyse

Die Trendfunktion setzt sich aus verschiedenen Komponenten zusammen:

G_t: Glatte Komponente
Die "Glatte Komponente" gibt den fiktiven Verlauf der Zeitreihe bei Fehlen saisonaler und irregulärer Schwankungen an. Oft wird die "Glatte Komponente" in eine Trendkomponente und eine zyklische Komponente differenziert.
T_t: Trendkomponente
In ihr drückt sich eine meist sehr langfristig wirksame Entwicklungstendenz oder "Grundrichtung" aus. Der Verlauf der Trendkomponente T_t ist bedingt durch die langfristigen Ursachen entweder monoton wachsend oder monoton fallend (mit der Zeit t).
Z_t: Die zyklische (Konjunkturzyklus-)Komponente
Diese, wie auch die folgenden Komponenten überlagern den Trend. Die zyklische Komponente umfaßt mehrjährige Schwankungen von meist unregelmäßiger Amplitude oder Länge. In der Mehrzahl der Fälle beträgt die Periodenlänge drei bis zwölf Jahre.
Die zyklische Komponente nimmt einen wellenförmigen Verlauf aufgrund sich stetig, aber langsam ändernder Einflüsse an. Im Falle wirtschaftlicher Zeitreihen etwa entsteht eine zyklische Komponente oft durch den Konjunkturzyklus. Um als Trendfaktoren zu gelten, müssen die Faktoren immer eine längere zeitliche Reichweite haben (größer als 12 Monate).

: Saisonkomponente

In ihr drücken sich die prinzipiell wiederkehrenden, vom Lauf der Gestirne (Jahreszeiten/Tag/Nacht-Rhythmus) oder von institutionellen Festlegungen (Feriendaten, Zahlungstermine) ausgehenden Regelmäßigkeiten innerhalb eines Jahres oder Tages aus. In entsprechender Anzahl gibt es sogenannte Saisonkoeffizienten, die den jeweiligen Saisoneinfluß zahlenmäßig ausdrücken.
Der Verlauf der Saisonkomponente ist ebenfalls wellenförmig durch den genannten periodischen Zeit-Einfluß auf die Beobachtungswerte. Oftmals wird von Zeitreihen mit konstanter Saisonkomponente ausgegangen, d.h. daß sich der Verlauf der saisonalen Komponente, falls sie überhaupt vorhanden ist, nach einer festen Anzahl p von Zeitpunkten wiederholt, so daß gilt für t=1...n-p.

I_t: irreguläre oder zufällige Komponente (statistischer Rest)

In I_t drücken sich die unvorhersehbaren, nicht regelmäßig wiederkehrenden und in den übrigen Komponenten nicht enthaltenen Einflüsse aus. Z.B. Streik, besonders schneereicher Frühling, Kalenderunregelmäßigkeiten, soweit sie nicht gesonders berücksichtigt werden, bilden den statistischen Rest.
Ausgegangen wird i.A. davon, daß I_t zufällig um Null schwankt.

1.7 Ermittlung der Zeitreihenkomponenten

Die Spezifizierung der Trendkomponente T_t des Zeitreihenwertes x_t für t=1...n wird als Trendbestimmung einer Zeitreihe bezeichnet.
Zum einen ist die Trendisolierung von Interesse (Welchen Verlauf hätte die Zeitreihe genommen, falls im Zeitablauf lediglich die Faktorengruppe wirksam gewesen wäre?) um den längerfristigen Grundzug, des in der Zeitreihe vorliegenden Bewegungsmusters aus der Retrospektive zu bestimmen, zum anderen geht es um die Trendausschaltung bzw. Trendbereinigung (welchen Verlauf hätte die Zeitreihe genommen, falls die Trendfaktoren nicht wirksam gewesen wären?). Der Vorteil der Trendbereinigugn ist, daß nach ihrer Durchführung die kürzerfristige saisonale Bewegungskomponente, unter der Voraussetzung, daß sie vorhanden ist, deutlicher als in der Ursprungsreihe hervortritt. Sie kann daher dann besser analysiert und prognostiziert werden.

Die Ermittlung der Trendkomponenten T_t erfolgt in der Regel mittels einer linearen oder nicht linearen Regression mit der Zeit t als unabhängiger und Y als abhängiger Variablen. Die Regressionsfunktion ist natürlich nur dann aussagekräftig, wenn die Zeitreihe genügend lang ist, d.h. nach Möglichkeit mehrere Konjunkturzyklen umfaßt.
Die Ermittlung der zyklischen Komponente erfolgt in der Weise, daß zuerst die Glatte Komponente Gt=Tt+Zt, also die Überlagerung von Trend und zyklischer Komponente geschätzt wird. Dies geschieht mit Hilfe der gleitenden Durchschnitte. Die zyklische Komponente ergibt sich dann durch Subtraktion des Trends von der glatten Komponente. Für das Erkennen konjunktureller Wendepunkte oder die Durchführung einer Saisonbereinigung ist eine Aufspaltung der glatten Komponente allerdings nicht erforderlich.
Ermittlung der Saisonkomponenten (vgl. dazu S. 11)