Der Kruskal/Wallis-H-Test ist eine Verallgemeinerung des U-Tests von Mann/Whitney. Er verwertet zusätzlich Informationen über die rangmäßige Abstufung der Stichprobenwerte.

3.6.1 Testsituation

• zwei unabhängige Stichproben der Umfänge n, i=1...,r
  
• stetige Untersuchungsvariable X mit x_ij, i=1...r, j=1...n_i

Es wird geprüft, ob r unabhängige Stichproben, in denen eine stetige Untersuchungsvariable betrachtet wird, aus r Grundgesamtheiten mit gleichem Median stammen. Vereinfacht gesagt prüft man: stammen die r Stichproben aus der gleichen oder identischen Grundgesamtheit.
Die Alternativhypothese behauptet: nicht alle Gesamtheiten haben den gleichen Median, anders formuliert: die r Stichproben stammen aus verschiedenen Grundgesamtheiten, wobei sich diese Verschiedenheit auf die Lageparameter (Mittelwerte) bezieht.
1. Den Stichprobenwerten x_ij werden Rangzahlen Rg(x_ij) zugeordnet, so daß für die zusammengefaßte Stichprobe eine Rangreihe entsteht.
2. -> der kleinste Wert x_ij bekommt den Rang 1
3. man bildet in jeder Stichprobe die entsprechende Rangsumme
4. Der Mittelwert der Rangsumme lautet: (-> Man dividiert für jede Stichprobe diese Summe durch die entsprechende Anzahl Elemente)
5. Falls die Nullypothese zutrifft, wird man für nur zufällige Abweichungen ewarten.
6. Der Prüfwert ergibt sich aus der Formelvon Kruskal/Wallis:

3.6.3 Bemerkungen

1. H kann für ni>=5 und r>=4 (Faustregel) einer [chi]²-Verteilung mit r-1 Freiheitsgraden angenähert werden.

3.6.4 Beispiel (Tiede S. 99)

Für eine geplante Fragebogenation wird über zufällig ausgewählte Personen ausprobiert, wie zeitraubend die Bearbeitung einer Reihe von Fragebogentypen ist. Man erhält die folgenden Zeitwerte in Minuten:

1. Man ordnet den Ursprungswerten Rangzahlen zu und erhält folgende Tabelle:

2. Man berechnet H nach der obigen Formel und erhält: h=8,76.
3. Da r>=4 und ni>=5 ist, folgt H hinreichend genau einer [chi]²-Verteilung mit (4-1)=3 Freiheitsgeraden.
4. Man liest aus der [chi]²-Tabelle in der Formelsammlung auf Seite 30 den Rückweisungspunkt [chi]²_r = 7,81 ab (-> 5 Prozent Signifikanzniveau).
5. 8,76>7,81, d.h. die Nullhypothese, daß die Unterschiede zwischen den Fragebögen nicht zufällig sind, wird abgelehnt: Es existieren Unterschiede bei dem Zeitaufwand für die Fragebögen.

Der Vorzeichentest (-> Schnelltest) kommt beim gleichen Beispiel zu einem anderen Ergebnis, der Kruskal-Wallis-Test hat eine Effizienz von 95%, seine Entscheidung gilt im Zweifelsfalle mehr.

3.7 Prüfung des Rangkorrelationskoeffizienten

Der SPEARMANsche Rangkorrelationskoeffizient dient zur Beurteilung des Zusammenhangs zweier stetiger Untersuchungsvariablen:
wobei i: d_i =Rg(y_i) ist

3.7.1 Testsituation

• X,Y, ordinal skaliert, n statistische Einheiten
  
• Gemessen wird das Wertepaar x_i, y_i.
  
• Man ordnet den Werten Rangzahlen zu, der kleinste Wert bekommt die Rangzahl 1.

Geprüft wird, ob die Merkmale von X und Y in der Grundgesamtheit nicht korreliert sind, d.h. die Hypothese lautet: in der Grundgesamtheit hat der Rangkorrelationskoeffizient den Wert 0. Anders formuliert: X und Y sind statistisch unabhängig voneinander
H_o: }_Sp=0, H_a=}_sp!=0
Nun wird es in der Stichprobe unter Umständen immer so sein, daß die gezogene Stichprobe einen Rangkorrelationskoeffizienten hat, der nicht Null ist. Mathematisch formuliert lautet das Problem:
[delta]sp<->Ysp, rsp!=0
Lösungsidee: Man wählt eine geeignete Prüfvariable, hier den Rangkorrelationskoeffizienten selbt.
Um die Stichprobenverteilung zu ermitteln, ordnete man die Rangzahlen Rg(x_i) 1 2 3 ... n
Falls x und y unkorreliert sind, ist jede Beliebige Anordnung für Rg(yi) möglich, auch eine vollständige geordnete (absteigend/aufsteigend), die zur vollständigen Korrelation führen würde.
Bei n verschiedenen Elementen gibt es n! gleichmögliche verschiedene Möglichkeiten einer Ordnung für Rg(yi).
Beispiel: für n=3 ergeben sich folgende Kombinationsmöglichkeiten für Rg(y_i), sowie die folgenden Rangkorrelationskoeffizienten r_sp. Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung

P(1)=1/6, P(0,5)=1/3, P(-0,5)=1/3, P(-1)=1/6. Graphisch ergibt sich folgendes Bild:

Die Stichprobenverteilung R_sp ist also diskret und symmetrisch zum Wert E(Rg)=0. Ihre Varianz ist VAR (R_sp)= . Die Rückweisungspunkte in Abhängigkeit von n und dem Signifikanzniveau sind in der Formelsammlung auf Seite 46 für n<11 tablliert. Ist n größer als 9, kann man approximativ die t-verteilte Prüfvariable mit v=n-2 Freiheitsgraden verwenden.
Ab n>20 kann durch die Standardnormalverteilung N(0,1) approximiert werden.
Annahmebereich der Testvariablen

3.8 Literatur