Der -Homogenitätstest ist ein Test zur Prüfung der Unterschiede zwischen Anteilswerten aus mehr als zwei unabhängige Stichproben. Die Problemstellung entspricht der Problemstellung der Varianzanalyse.
Testsituation
r unabhängige Stichproben der Umfänge b_i
Vorgehensweise
n Objekte kommen in die Auswahl, in jeder Einzelstichprobe werden die s Ausprägungen des interessierenden polytomen Merkmals A ausgezählt. Man beobachtet die absoluten Häufigkeiten b_ij  (bzw. die relativen Häufigkeiten )
Zu prüfen ist die Hypothese: p_ij weicht nur zufällig von Grundgesamtheitsanteilswerten _ij ab. Die Homogenitätshypothese dieses Tests behauptet also, daß ein Merkmal in den r Stichproben jeweils zugrundeliegenden Grundgesamtheiten jeweils die gleiche Verteilung hat. Zu prüfen ist also die Hypothese, daß die Stichproben aus einer Grundgesamtheit stammen: für alle i; j=1...s
Prüfvariable ist wie bei allen Chi-Quadrat-Tests die Pearsonsche Variable U:

Praktisch werden bei diesem Test die beobachteten Häufigkeiten b_ij mit den aufgrund der Homogenitätshypothese erwarteten Werten e_ij verglichen. Hierzu wird ein Chi-Quadrat-Test durchgeführt.
 Beispiel
An der Ruhr-Uni Bochum wurden StudentInnen befragt, wie sie die Anforderungen ihres Studiums einschätzen. Es ergab sich folgender Befund:

Entschieden werden soll, ob sich die Antworten über die Studienanforderungen zwischen den ausgewählten 5 Fakultäten wesentlich unterscheiden. Die Berechnung der erwarteten Häufigkeiten führt zu den eingeklammerten Werten: z.B. für "Philologie" und "gerade noch zu bewältigen" ergibt sich ein Wert von
Für die Prüfvariable u ergibt sich ein Wert von 63,3 (Die Berechnung erfolgt analog zum Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest, S. 5).
Die -Verteilung besitzt v=(r-1)(s-1)=4*2=8 Freiheitsgrade.
Der Rückweisungspunkt liegt für v=8 und ein Signifikanzniveau von 10 Prozent bei 13,4 (Nachschlagen in Chi-Quadrat-Verteilung).
Der Stichprobenbefund u=63,3 liegt rechts vom entsprechenden Rückweisungspunkt =13,4, die Hypothese muß zurückgewiesen werfen.
Ergebnis: Die Nullhypothese muß abgelehnt werden, die Stichproben stammen nicht aus einer GG, die Unterschiede zwischen den Einschätzungen der einzelnen Studiengänge sind signfikant.

1.1.3 X²-Unabhängigkeitstest

Testsituation:

• zwei dichotome oder polytome Merkmale X und Y
  
• eine Stichprobe mit n Objekten, die jeweils eine Ausprägung von X und Y haben
  

Die Tatsache, daß die Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels bei normalverteilter Gesamtheit ebenfalls normalverteilt ist, läßt sich bei bekannter Grundgesamtheitsvarianz nutzen. Ist diese jedoch unbekannt, wäre eine entsprechende Schätzung über den Stichprobenbefund bei kleinem Stichprobenumfang zu ungenau. Eine Prüfvariable, die dies berücksichtigt, läßt sich mit Hilfe des StUDENTisierung-Verfahrens gewinnen:
Bei normalverteilter Grundgesamtheit gilt: .
Es läßt sich zeigen, daß wie verteilt ist (S ist die zur Stichprobenstreuung gehörende Stichprobenvariable). Man kann nun die Definition der Student-t-Variablen einsetzen und erhält die Größe

1.2.2 t-Test bei einer kleinen Stichprobe

Testsituation:
Der Mittelwertdifferenzentest ist ein t-Test bei einem kleinen Stichprobenumfang: n<30.
Voraussetzung ist, daß die Verteilung in der Grundgesamtheit entweder dichotom oder normalverteil ist, sonst sollte man auf andere verteilungsfreie (aber ebenso effiziente) Prüfverfahren ausweichen, z.B. den U-Test.)
Der t-Test testet, ob das arithmetische Mittel der Stichprobe sich signifikant vom arithmetischen Mittel der Grundgesamtheit unterscheidet. Der t-Test nutzt die Information, daß die Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels bei normalverteilter GG ebenfalls normalverteilt ist. Diese Beziehung läßt sich nutzen, wenn die Grundgesamtheitsvarianz ebenfalls 0 ist.
Es ergeben sich folgende Testsituationen:

S ist die zur Stichprobenstreuung gehörende Stichprobenvariable.
Vorgehensweise:

• Die Nullhypothese lautet:
  
• Man bestimmt den Wert der t-Variablen unter der Verwendung von .
  
• Dieser Wert wird mit t_r (ist abhängig vom SN und dem Parameter v=n-1) verglichen (Formelsammlung S. 31)

Testidee
Der t-Test für zwei unabhängige kleine Stichproben geht zurück auf das Studentisierungs-Verfahren (s. S.7).
Bei kleinen Stichprobenumfängen lassen sich Aussagen über die Verteilungen der bislang verwendeten Prüfgrößen nur machen, sofern die Grundgesamtheiten normalverteilt sind. Ist dies nicht der Fall, weicht man am besten auf verteilungsfreie Verfahren aus, z.B. den U-Test.
Testsituation

• zwei unabhängige kleine Stichproben (n<30)
  
• Voraussetzung: GG sind normalverteilt, Varianzen der
  Gesamtheiten sind gleich (Varianzquotiententest durchführen!)
  

1. Die Nullhypothese lautet: ₁=₂
2. Man berechnet die arithmetischen Mittel:
3. ... und die Varianzen und (für den t-Test ist Voraussetzung, daß die GG normalverteilt sind und die Varianzen der Gesamtheiten gleich sind

Der t-Test für zwei verbundene Stichproben läßt sich als Problem des t-Test-Ein-Stichproben-Falls (S.7) auffassen. Ausgegangen wird von der Differenz der D=X₁-X₂. Aus den Paaren der Stichprobenvariablen (X_i1,X_2i) und berechnet daraus den Durchschnitt:
(weiteres siehe Formelsammlung)